Question

2．如圖，拋物線y=-x²-2x+3的圖象與x軸交A、B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過Q作QN⊥x軸于N，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方），若FG=2$\sqrt{2}$DQ，求點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）解方程-x²-2x+3=0可得A點和B點坐標；計算自變量為0時的函數(shù)值可得到C點坐標；
（2）先確定拋物線的對稱軸為直線x=-1，設(shè)M（x，0），則點P（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜-1），利用對稱性得到點Q（-2-x，-x²-2x+3），PQ=-2-2x，所以矩形PMNQ的周長=2（-2-2x-x²-2x+3），利用二次函數(shù)得到當(dāng)x=-2時，矩形PMNQ的周長最大，此時M（-2，0），接著利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=3x+3，從而得到E（-2，1），然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）當(dāng)x=-2時得到Q（0，3），再確定D（-1，4），則DQ=$\sqrt{2}$，所以FG=2$\sqrt{2}$DQ=4，設(shè)F（t，-t²-2t+3），則G（t，t+3），所以GF=t+3-（-t²-2t+3）=t²+3t，于是得到方程t²+3t=4，然后解方程求出t即可得到F點坐標．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，-x²-2x+3=0，解得x₁=1，x₂=-3，則A（-3，0），B（1，0）；
當(dāng)x=0時，y=-x²-2x+3=3，則C（0，3）；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=-1，
設(shè)M（x，0），則點P（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜-1），
∵點P與點Q關(guān)于直線=-1對稱，
∴點Q（-2-x，-x²-2x+3），
∴PQ=-2-x-x=-2-2x，
∴矩形PMNQ的周長=2（-2-2x-x²-2x+3）=-2x²-8x+2=-2（x+2）²+10，
當(dāng)x=-2時，矩形PMNQ的周長最大，此時M（-2，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=3x+3，
當(dāng)x=-2時，y=x+3=1，
∴E（-2，1），
∴△AEM的面積=$\frac{1}{2}$×（-2+3）×1=$\frac{1}{2}$；

（3）當(dāng)x=-2時，Q（0，3），即點C與點Q重合，
當(dāng)x=-1時，y=-x²-2x+3=4，則D（-1，4），
∴DQ=$\sqrt{{1}^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴FG=2$\sqrt{2}$DQ=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，
設(shè)F（t，-t²-2t+3），則G（t，t+3），
∴GF=t+3-（-t²-2t+3）=t²+3t，
∴t²+3t=4，解得t₁=-4，t₂=1，
∴F點坐標為（-4，-5）或（1，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，會求拋物線與x軸的交點坐標；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式．