Question

11．如圖，海中一小島上有一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，某天上午9：00觀測(cè)到某漁船在觀測(cè)點(diǎn)A的西南方向上的B處跟蹤魚(yú)群由南向北勻速航行．當(dāng)天上午9：30觀測(cè)到該漁船在觀測(cè)點(diǎn)A的北偏西60°方向上的C處．若該漁船的速度為每小時(shí)30海里，在此航行過(guò)程中，問(wèn)該漁船從B處開(kāi)始航行多少小時(shí)，離觀測(cè)點(diǎn)A的距離最近？（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意可得PC⊥AB，然后設(shè)PC=x海里，分別在Rt△APC中與Rt△APB中，利用正切函數(shù)求得出PC與BP的長(zhǎng)，由PC+BP=BC=30×$\frac{1}{2}$，即可得方程，解此方程求得x的值，再計(jì)算出BP，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度即可求解．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC，垂足為P，設(shè)AP=x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，
∴tan∠PAC=$\frac{CP}{AP}$，
∴CP=AP•tan∠PAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，
∴BP=AP=x．
∵PC+BP=BC=30×$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+x=15，
解得x=$\frac{15（3-\sqrt{3}）}{2}$，
∴PB=x=$\frac{15（3-\sqrt{3}）}{2}$，
∴航行時(shí)間：$\frac{15（3-\sqrt{3}）}{2}$÷30=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$（小時(shí)）．
答：該漁船從B處開(kāi)始航行$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$小時(shí)，離觀測(cè)點(diǎn)A的距離最近．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，銳角三角函數(shù)的定義，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．