Question

19．如圖，正方形ABCD中，點A，B在坐標(biāo)軸上，C，D在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過D（1，2）和C點．
（1）求k的值；
（2）求OB的長；
（3）設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n．
①求m，n的值；
②求第一象限內(nèi)使mx+n＜$\frac{k}{x}$成立的x取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）如圖作CH⊥OF于H．設(shè)A（0，a），B（b，0），由△ABO≌△BCH，推出OB=CH=b，OA=BH=a，推出C（a+b，b），同理可得D（a，a+b），由C、D在y=$\frac{2}{x}$上，推出（a+b）b=a（a+b），由a+b≠0，推出a=b，推出C（2a，a），可得2a²=2，推出a=1，由此即可解決問題；
（3）①求出C、D兩點的坐標(biāo)即可解決問題．
②利用圖象可知：不等式：mx+n＜$\frac{k}{x}$的解，是直線y=mx+n的圖象在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象的下方部分，寫出自變量的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵D（1，2）在y=$\frac{k}{x}$上，
∴2=$\frac{k}{1}$，
∴k=2．

（2）如圖作CH⊥OF于H．設(shè)A（0，a），B（b，0），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
在△ABO和BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBH}\\{∠AOB=∠CHB}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB=CH=b，OA=BH=a，
∴C（a+b，b），同理可得D（a，a+b），
∵C、D在y=$\frac{2}{x}$上，
∴（a+b）b=a（a+b），
∵a+b≠0，
∴a=b，
∴C（2a，a），
∴2a²=2，
∴a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，
∴OB=1．

（3）①由（2）可知C（2，1），D（1，2），
則有$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴m=-1，n=2．

②由圖象可知，mx+n＜$\frac{k}{x}$時，x的取值范圍為1＜x＜2．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)、全等三角形的判定與性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上兩點的橫縱坐標(biāo)的積相等，綜合性較強(qiáng)，難度中等．