Question

13．觀察下列等式：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$=5$\sqrt{\frac{5}{24}}$…對于一般的自然數(shù)n，將有等式$\sqrt{n+2+\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$=（n+2）$\sqrt{\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$（n為自然數(shù)）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知可以發(fā)現(xiàn)：等號左邊是一個二次根式，其被開方數(shù)為一個整數(shù)與一個分數(shù)的和，分數(shù)的分子與整數(shù)相同，分母比分子的平方小1，等號右邊是左邊的整數(shù)乘以分數(shù)的算術(shù)平方根的積，從而得出規(guī)律求出即可．

解答 解：∵$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$=5$\sqrt{\frac{5}{24}}$，
…，
∴對于一般的自然數(shù)n，將有等式$\sqrt{n+2+\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$=（n+2）$\sqrt{\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$（n為自然數(shù)）．
故答案為$\sqrt{n+2+\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$=（n+2）$\sqrt{\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$（n為自然數(shù)）．

點評 此題主要考查了數(shù)的規(guī)律知識，根據(jù)已知等式得出變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．