Question

15．如圖，已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，△A′B′C′≌△ABC，BC與B′C′在同一直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)B′重合（如圖1），現(xiàn)將△ABC沿射線B′C′以2個(gè)單位/秒的速度向上平移，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)0＜t＜4時(shí)，設(shè)AC與A′B′交于點(diǎn)D，求B′C•A′D的最大值；
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△A′B′C′與△ABC重疊部分的面積是18．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的三角函數(shù)表示出B′D、A′D，計(jì)算它們的積，并根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值；
（2）重疊部分是三角形，根據(jù)（1）的值利用面積公式計(jì)算．

解答 解：（1）由題意得：B′C=2t，
則tan∠A=$\frac{BC}{AB}=\frac{B′C}{B′D}$，
∴$\frac{8}{6}=\frac{2t}{B′D}$，
∴B′D=$\frac{12t}{8}$=$\frac{3t}{2}$，
∴A′D=6-$\frac{3}{2}t$，
∴B′C•A′D=2t•（6-$\frac{3}{2}t$）=-3t²+12t=-3（t-2）²+12，
∵-3＜0，
∴B′C•A′D有最大值，
當(dāng)t=2時(shí)，B′C•A′D最大值為12；
（2）S_重疊部分=S_△CB′D=$\frac{1}{2}$B′C•B′D=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{2}$t=18，
t²=12，
t=±2$\sqrt{3}$，
∵0＜t＜4，
∴t=2$\sqrt{3}$，
則當(dāng)t為2$\sqrt{3}$時(shí)，△A′B′C′與△ABC重疊部分的面積是18．

點(diǎn)評 本題是三角形與二次函數(shù)的綜合問題，考查了動點(diǎn)問題中的路程、速度與時(shí)間的關(guān)系；本題把兩條線段的乘積的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，很容易就能求出結(jié)論．