Question

7．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
第2個(gè)等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
第3個(gè)等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
第4個(gè)等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，
…
按上述規(guī)律，計(jì)算a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意，可得：a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，然后根據(jù)分母有理數(shù)化的方法，求出算式的值是多少即可．

解答 解：第1個(gè)等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
第2個(gè)等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
第3個(gè)等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$，
第4個(gè)等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2，
…
a₁+a₂+a₃+…+a_n
=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$
=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
故答案為：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了分母有理化的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．