Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，AB=8．動點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，到A點(diǎn)停止．過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．設(shè)動點(diǎn)D運(yùn)動的時(shí)間為x秒．AE的長度為y．
（1）請用含x的代數(shù)式直接表示線段BD和AD的長．
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫自變量x的取值范圍）．
（3）若△BDE的面積為6，求x的值．
（4）當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可求得含x的代數(shù)式的線段BD和AD的長；
（2）根據(jù)已知條件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得

AD

AB

=

AE

AC

；最后用x、y表示該比例式中的線段的長度；
（3）根據(jù)∠A=90°得出S_△BDE=

1

2

•BD•AE=6，再解一元二次方程即可得到x值；
（4）根據(jù)∠BDE=＞90°判斷出只有BD為腰長這一情況，利用相似三角形的性質(zhì)可求得x．

解答：解：（1）根據(jù)題意可得：
BD=2x，
AD=AB-BD=8-2x，

（2）∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴

AD

AB

=

AE

AC

∴

8-2x

8

=

y

6

8
∴y=-

3

2

x+6，
其中0＜x≤4；

（3）根據(jù)題意可知，
∵∠A=90°
∴S_△BDE=

1

2

•BD•AE=

1

2

•2x•y=-

3

2

x²+6x，
當(dāng)S_△BDE=6時(shí)，
即6=-

3

2

x²+6x，
解得：x=2．

（4）∵∠BDE=∠A+∠AED＞90°，
∴當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，∠BDE為腰長的夾角，
∴BD為腰長．
∴BD=DE，
∵△ADE∽△ABC
∴

AD

DE

=

AB

BC

即：

8-2x

2x

=

8

10

解得：x=

20

9

．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積及解一元二次方程，找到等量比是解題的關(guān)鍵．