Question

11．如圖，△ABC，∠C=45°，點(diǎn)P、Q分別在射線CA、CB上，且CP=2，將△ABC沿PQ折疊，點(diǎn)C落在平面上點(diǎn)C′處．
（1）當(dāng)PC′∥CB時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)PC′⊥CA時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)折疊后的△PC′Q與△ABC的重疊部分為等腰三角形時(shí)，求CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由PC′∥BC，推出∠CQP=∠QPC=∠CPQ，可得CP=CQ=2；
（2）由PC′⊥AC，∠C=45°，可知△CPC′是等腰直角三角形，由此即可解決問(wèn)題；
（3）當(dāng)折疊后重疊部分為等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q共有5個(gè)；點(diǎn)C′在∠ACB的內(nèi)部或一邊上時(shí)，由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及解直角三角形即可求出CQ的長(zhǎng)；點(diǎn)C′在∠ACB的外部時(shí)，同理求出CQ的長(zhǎng)即可

解答 解：（1）如圖1中，

∵PC′∥BC，
∴∠CQP=∠QPC=∠CPQ，
∴CP=CQ=2．

（2）如圖2中，

∵PC′⊥AC，∵∠C=45°，
∴△CPC′是等腰直角三角形，
∵∠QPC=∠QPC′，
∴CQ=QC′=$\frac{1}{2}$CC′=$\sqrt{2}$．

（3）①如圖3中，當(dāng)PQ=PM時(shí)，

∵∠PMQ=∠PQM=∠C+∠CPQ，
由折疊的性質(zhì)得：∠CPQ=∠MPQ，
設(shè)∠CPQ=∠MPQ=x，
則∠PMQ=∠PQM=45°+x，
在△CPM中，由三角形內(nèi)角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，
解得：x=30°，
∴∠CPQ=30°，
作QN⊥CP于N，設(shè)CN=a，
∵∠C=45°，
則QN=CN=a，CQ=$\sqrt{2}$a，PN=$\sqrt{3}$QN=$\sqrt{3}$a，
∵CN+PN=CP，
∴a+$\sqrt{3}$a=2，
解得：a=$\sqrt{3}$-1，
∴CQ=$\sqrt{2}$（ $\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；

②如圖4中，PQ=MQ，作QN⊥CA于N，
同①得：CQ=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$；


③如圖5中，點(diǎn)C′在∠ACB的內(nèi)部時(shí)，四邊形CPC′Q是菱形，OQ=OP=2cm；

④如圖6中，當(dāng)點(diǎn)C′在BC邊上時(shí)，△CPQ是等腰直角三角形，OQ=$\sqrt{2}$，

⑤如圖7中，當(dāng)點(diǎn)C′在AC的邊上時(shí)，△CPQ是等腰直角三角形，CQ=2 $\sqrt{2}$；

綜上所述，滿足條件的CQ的值為（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）cm或（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）cm或2cm或$\sqrt{2}$cm或2$\sqrt{2}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明三角形是等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意分類討論．