Question

7．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了如框（圖2）中的題目．
小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例啟發(fā)，解答題目：
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你接著完成以下解答過(guò)程）

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為3，AE=1，則CD的長(zhǎng)為2或4（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出AE=BE，根據(jù)∠D=∠BED，即可得出BD=BE，進(jìn)而得出AE=BD；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，先得出AE=AF=EF，再判定△DBE≌△EFC（SAS），得出DB=EF，進(jìn)而得出AE=BD；
（3）根據(jù)AE=1，△ABC的邊長(zhǎng)為3，可知E點(diǎn)可能在線段AB上，也可能在BA的延長(zhǎng)線上，因此分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)E在AB時(shí)，同（2）可知，BD=EF=AE=1，即可得出CD=BC+BD=3+1=4；②當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先判定△BDE≌△FEC（AAS），得出EF=BD，再判定△AEF為等邊三角形，進(jìn)而得出CD=BC-BD=3-1=2．

解答 解：（1）∵等邊三角形ABC中，E是AB的中點(diǎn)，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，AE=BE，
又∵EC=ED，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=60°-∠D=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE，
∴AE=BD，
故答案為：=；

（2）AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB．
理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．
在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EC}\\{∠BED=∠FCE}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=；

（3）∵AE=1，△ABC的邊長(zhǎng)為3，
∴E點(diǎn)可能在線段AB上，也可能在BA的延長(zhǎng)線上，
①當(dāng)點(diǎn)E在AB時(shí)，同（2）可知，BD=EF=AE=1，
∴CD=BC+BD=3+1=4；
②當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則
∠F=∠FCB=∠B=60°，∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠F}\\{∠BDE=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又∵∠F=∠FAE=∠AEF=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案為：2或4．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)的綜合應(yīng)用．證明三角形全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=EF，再結(jié)合EF和AE的關(guān)系是得出結(jié)論的關(guān)鍵．