Question

9．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3$\sqrt{2}$，點(diǎn)P為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC交AB于點(diǎn)D，將△APD沿直線PD折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為E，連接DE，BE當(dāng)△DEB的兩直角邊之比為$\frac{1}{2}$時(shí)，AP的長為2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由翻折變換的性質(zhì)得到AP=EP，AD=DE，根據(jù)已知條件得到AB=6，∠A=45°，于是得到△ADE是等腰直角三角形，當(dāng)△DEB的兩直角邊之比為$\frac{1}{2}$時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)DE：BD=1：2，推出AD：BD=1：2，求得AD=2，于是得到結(jié)論；②當(dāng)DE：BD=2：1，求得AD：BD=2：1，求得AD=4，于是得到AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2$\sqrt{2}$．

解答 解：由翻折變換的性質(zhì)得：AP=EP，AD=DE，
∵∠ACB=90°，AC=BC=3$\sqrt{2}$，
∴AB=6，∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
當(dāng)△DEB的兩直角邊之比為$\frac{1}{2}$時(shí)，
分兩種情況：①當(dāng)DE：BD=1：2，
∴AD：BD=1：2，
∴AD=2，
∴AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$．
②當(dāng)DE：BD=2：1，
∴AD：BD=2：1，
∴AD=4，
∴AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2$\sqrt{2}$．
綜上所述：當(dāng)△DEB的兩直角邊之比為$\frac{1}{2}$時(shí)，AP的長為：2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要進(jìn)行分類討論．