Question

16．如圖1，矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處，已知折痕與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA．

（1）求證：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；
（3）如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．探究：當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF與線段PB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知得到∠APO=∠B=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)勾股定理計算即可；
（3）作MH∥AB交PB于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF=FH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PE=EH，得到答案．

解答 （1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠APO=∠B=90°，
∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°，
∴△OCP∽△PDA；
（2）解：∵△OCP∽△PDA，面積比為1：4，
∴$\frac{CP}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=4，
設(shè)AB=x，則AP=x，PD=x-4，
由勾股定理得，AD²+PD²=AP²，即8²+（x-4）²=x²，
解得，x=10，即AB=10；
（3）解：PB=2EF．
作MH∥AB交PB于H，
∴∠PHM=∠PBA，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠PBA，
∴∠APB=∠PHM，
∴MP=MH，又BN=PM，
∴MH=BN，又∵M(jìn)H∥AB，
∴BF=FH，
∵M(jìn)P=MH，ME⊥BP，
∴PE=EH，
∴PB=2EF．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、相似三角形的面積比等于相似比的平方、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．