Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，-3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t．
（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．
（2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積．
（3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法分別求解可得；
（2）根據(jù)題意可設點P的坐標是（t，t-3），則M（t，t²-2t-3），繼而可得PM=（t-3）-（t²-2t-3）=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，知PM最長值為$\frac{9}{4}$，根據(jù)S_△ABM=S_△BPM+S_△APM可得答案；
（3）由PM∥OB，可知當PM=OB時點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，據(jù)此可分以下三種情況：①當P在第四象限；②當P在第一象限；③當P在第三象限；由PM=OB=3列出關于t的方程分別求解可得．

解答 解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入y=x²+mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式是y=x²-2x-3．
設直線AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式是y=x-3；

（2）設點P的坐標是（t，t-3），則M（t，t²-2t-3），
∵p在第四象限，
∴PM=（t-3）-（t²-2t-3）=-t²+3t=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當t=$\frac{3}{2}$時，二次函數(shù)取得最大值$\frac{9}{4}$，即PM最長值為$\frac{9}{4}$，
則S_△ABM=S_△BPM+S_△APM=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$．

（3）存在，
理由如下：

∵PM∥OB，
∴當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，
①當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有$\frac{9}{4}$，所以不可能有PM=3．
②當P在第一象限：PM=OB=3，（t²-2t-3）-（t-3）=3，
解得t₁=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（舍去），
所以P點的橫坐標是$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$；
③當P在第三象限：PM=OB=3，t²-3t=3，解得t₁=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
所以P點的橫坐標是$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$．
所以P點的橫坐標是$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式表示點的坐標，再利用坐標表示線段的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求線段的最大值．同時考查了平行四邊形的判定定理以及一元二次方程的解法．