Question

12．如圖：直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）點(diǎn)B（$\sqrt{3}$，0），點(diǎn)M在y軸上，⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，交x軸于另一點(diǎn)C．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是劣弧AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)：線段PA，PB，PC有什么數(shù)量關(guān)系？并給出證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B（$\sqrt{3}$，0）代入y+kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$解方程組即可．
（2）如圖1中，連接BM．設(shè)AM=BM=r．在Rt△BMO中，由OM²+OB²=BM²，OM=3-r，OB=$\sqrt{3}$，可得（3-r）²+（$\sqrt{3}$）²=r²，解方程即可．
（3）結(jié)論：PB=PA+PC，如圖2中，連接AC、在PB上截取PN=PC，連接CN．首先證明△ACB，△PCN都是等邊三角形，再證明△PCA≌△NCB，推出PA=BN，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B（$\sqrt{3}$，0）代入y+kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+3．

（2）如圖1中，連接BM．設(shè)AM=BM=r．

在Rt△BMO中，
∵OM²+OB²=BM²，OM=3-r，OB=$\sqrt{3}$，
∴（3-r）²+（$\sqrt{3}$）²=r²，
∴r=2，
∴OM=3-2=1，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，1）．

（3）結(jié)論：PB=PA+PC，理由如下：
如圖2中，連接AC、在PB上截取PN=PC，連接CN．

∵OM⊥BC，
∴OC=OB，
∴AC=AB，
∵tan∠ABO=$\frac{AO}{OB}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=CB，∠ACB=∠CAB=60°，
∴∠CPB=∠CAB=60°，∵PC=PN，
∴△PCN是等邊三角形，
∴CP=CN，∠PCN=60°，
∴∠PCN=∠ACB=60°，
∴∠PCA=∠NCB，∵PC=CN，CA=CB，
∴△PCA≌△NCB，
∴PA=BN，
∵PB=PN+BN，PN=PC，BN=PA，
∴PB=PA+PC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、垂徑定理、一次函數(shù)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．