Question

12．已知拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為x=-1，與x軸交于　A（-3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為D，連接AC、CD、AD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)你判斷△ACD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）若點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、Q、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)勾股定理，可得AC，CD，AD的長，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）分類討論：①平行四邊形AQBP，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可得答案；
②?ABQP，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
③?ABPQ，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入、及對(duì)稱軸，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=3}\\{-\frac{2a}=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-2x+3；
（2）△ACD是直角三角形，
證明：∵y═-x²-2x+3=-（x-1）²+4，得頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，4），
由勾股定理，得
AC²=3²+（0-3）²=18，
CD²=（0+1）²+（3-4）²=2，
AD²=（-1+3）²+（（4-0）²=20，
AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形；
（3）①如圖1，平行四邊形AQBP，由對(duì)角線互相平分，得P₁（-1，4），Q（-1，-4）；
②如圖2，
?ABQP，PQ=AB=4，-1-4=-5，
當(dāng)x=-5時(shí)，y=-25+10+3=-12，即P₂（-5，-12）；
③如圖3，
?ABPQ，PQ=AB=4，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1+4=3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-9-6+3=-12，即P₃（3，-12），
綜上所述：P₁（-1，4），P₂（-5，-12），P₃（3，-12）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形狀；利用平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分，對(duì)邊相等是求P點(diǎn)的關(guān)鍵．