Question

7．如圖1，邊長為a的正方形發(fā)生形變后成為邊長為a的菱形，如果這個菱形的一組對邊之間的距離為h，我們把a(bǔ)與h的比值叫做這個菱形的“形變度”．
（1）當(dāng)形變后的菱形有一個內(nèi)角是60°時，則這個菱形的“形變度”為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）如圖2，菱形ABCD的“形變度”為$\sqrt{5}$．
①這個菱形形變前與形變后的面積之比為$\sqrt{5}$．
②點(diǎn)E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，求四邊形EFGH形變前與形變后的面積之比．
（3）一個正方形ABCD由邊長為1的5×5網(wǎng)格小正方形組成，形變后成為菱形A′B′C′D′如圖3，原正方形內(nèi)的△AEF（E、F是小正方形的頂點(diǎn)），同時形變?yōu)椤鰽′E′F′，已知這個菱形的“形變度”為$\frac{5}{4}$，則形變后的△A′E′F′的面積為4.4．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，由∠B=60°，在Rt△ABC中，利用正弦函數(shù)求得；
（2）①求出形變前正方形的面積，形變后菱形的面積，兩面積之比即為所求；
②分別表示出四邊形EFGH形變前與形變后的面積，進(jìn)而得出答案；
（3）利用（2）中所求得出兩個四邊形的面積比，即可得出答案．

解答 解：（1）由題意得，∠B=60°，
在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴h=AC=ABsin∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴k=$\frac{a}{h}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；

（2）①形變前的面積=a²，
∵k=$\sqrt{5}$，∴$\frac{a}{h}$=$\sqrt{5}$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，
∴形變后的面積=a•$\frac{\sqrt{5}a}{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a²
∴菱形形變前的面積與形變后的面積之比：$\frac{{a}^{2}}{\frac{\sqrt{5}{a}^{2}}{5}}$=$\sqrt{5}$；
故答案為：$\sqrt{5}$；

②∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴四邊形EFGH形變前的面積為$\frac{1}{2}$a²，
∵EH是△ABD的中位線，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，同理EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴矩形EFGH的面積=$\frac{1}{2}$BD×$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$ah，
∴四邊形EFGH形變前的面積與形變后的面積之比是：$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{\frac{1}{2}ah}$=$\frac{a}{h}$=$\sqrt{5}$，

（3）如圖3所示：∵這個菱形的“形變度”為$\frac{5}{4}$，
∴菱形形變前的面積與形變后的面積之比：$\frac{5}{4}$，
∵S_△AEF=25-$\frac{1}{2}$×3×5-5-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×3×4=5.5，
∴S_{△A′E′F′}=4.4．
故答案為：4.4．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及四邊形綜合，根據(jù)題意得出菱形形變前的面積與形變后的面積之比是解題關(guān)鍵．