Question

4．已知關(guān)于x的一元二次方程：x²-（m-3）x-m=0
（1）證明原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若拋物線y=x²-（m-3）x-m與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個(gè)值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（友情提示：AB=|x₁-x₂|）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式，可得答案；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得A、B間的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）△=[-（m-3）]²-4（-m）=m²-2m+9=（m-1）²+8，
∵（m-1）²≥0，
∴△=（m-1）²+8＞0，
∴原方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
（2）存在，
由題意知x₁，x₂是原方程的兩根，
∴x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m．
∵AB=|x₁-x₂|，
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=（m-3）²-4（-m）=（m-1）²+8，
∴當(dāng)m=1時(shí)，AB²有最小值8，
∴AB有最小值，即AB=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用了根的判別式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用完全平方公式得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．