Question

7．如圖1，已知Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關系是BG=AE；
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉α（0°＜α≤360°），
①判斷（1）中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論；
②在旋轉過程中，當AE取最大值時，請直接寫出AF、AE、EF之間的數(shù)量關系（寫出等式即可）．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形△BDG≌△ADE，證明BG=AE；
（2）①與（1）同理，證明△BDG≌△ADE，可得BG=AE，結論依然成立；
②在旋轉過程中，當AE取最大值時，點A、D、E共線，△AEF構成直角三角形，因此AF、AE、EF之間的數(shù)量關系滿足勾股定理．

解答 解：（1）猜想：BG=AE．
證明：在△BDG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}BD=AD\\∠BDG=∠ADE=90°\\ DG=ED\end{array}\right.$
∴△BDG≌△ADE（SAS）
∴BG=AE．

（2）①成立．
證明：如答圖1，連接AD．

在Rt△ABC中，AB=AC，D為斜邊BC的中點，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四邊形EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}BD=AD\\∠BDG=∠ADE=90°\\ DG=ED\end{array}\right.$
∴△BDG≌△ADE（SAS）
∴BG=AE．
②AF²=AE²+EF²．理由如下：
在△ADE中，∵AE＜AD+DE，
∴當點A、D、E共線時，AE取得最大值，最大值為AD+DE．
作出圖形如下：

此時△AEF是直角三角形，∴AF²=AE²+EF²．

點評 本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、正方形、等腰直角三角形、旋轉、勾股定理等知識點，解題關鍵是理解（2）②問中“在旋轉過程中，當AE取最大值時”的含義．