Question

16．如圖，直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點A和B，點M和點N分別是l₁ 和l₂上的動點，MN沿l₁和l₂平移，⊙O的半徑為3，∠1=60°，下列結論錯誤的是（　�。�

• A． 若MN與⊙O相切，則AM=3$\sqrt{3}$
• B． 若∠MON=90°，則MN與⊙O相切
• C． MN=4$\sqrt{3}$
• D． l₁和l₂的距離為6

Answer 1

分析 首先過點N作NC⊥AM于點C，直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點A和點B，⊙O的半徑為1，易求得MN=$\frac{CN}{sin60°}$=4$\sqrt{3}$，l₁和l₂的距離為6；若∠MON=90°，連接NO并延長交MA于點C，易證得CO=NO，繼而可得即O到MN的距離等于半徑，可證得MN與⊙O相切；由題意可求得若MN與⊙O相切，則AM=3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$．

解答 解：如圖1，過點N作NC⊥AM于點C，
∵直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點A和點B，⊙O的半徑為3，
∴CN=AB=6，
∵∠1=60°，
∴MN=$\frac{CN}{sin60°}$=4$\sqrt{3}$，
故C與D正確；
如圖3，
若∠MON=90°，連接NO并延長交MA于點C，則△AOC≌△BON，
故CO=NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高為3，即O到MN的距離等于半徑．
故B正確；
如圖2，∵MN是切線，⊙O與l₁和l₂分別相切于點A和點B，
∴∠AMO=$\frac{1}{2}$∠1=30°，
∴AM=3$\sqrt{3}$；
∵∠AM′O=60°，
∴AM′=$\sqrt{3}$，
∴若MN與⊙O相切，則AM=3$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$；
故A錯誤．
故選A．

點評 此題考查了切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想與分類討論思想的應用．