Question

14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以OC為邊在第一象限內(nèi)作邊長為4的正方OCDE，二次函數(shù)y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c的圖象經(jīng)過正方形OCDE的頂點C、D，若點P是x軸正半軸上一動點，過P作PN⊥x軸，交拋物線于點N，設P（x，0）．

（1）a=-$\frac{1}{3}$，c=4；
（2）當點P運動時，以OP為邊在x軸上方作正方形OPFG，設正方形OPFG與△OCE重疊部分的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）拋物線上是否存在一點Q．使△QCE為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得二次項系數(shù)，常數(shù)項；
（2）分類討論：當0＜x≤2時，根據(jù)正方形的面積公式，可得答案；當2＜x≤4時，根據(jù)圖形割補法，可得答案；當x＞4時，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)直角三角形的判定：直徑所對的圓周角是直角，可得答案．

解答 解：（1）由正方形OCDE的邊長為4，得C（0，4），D（4，4），
將C、D點坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a+\frac{16}{3}+c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$
故答案為：$-\frac{1}{3}$，4；
（2）設y_CE=kx+4，把E（4，0）代入
可得4k+4=0∴k=-1
∴y_CE=-x+4
∴當x=2時，點F在直線EC上
①當0＜x≤2時，如圖1，S=x²；
②當2＜x≤4時，如圖2，OE=4，OP=x

∵Rt△COE和Rt△HFK為等腰直角三角形
∴PE=PK=4-x   FK=FH=2x-4
∴S=x²-0.5（2x-4）²=-x²+8x-8；
③當x＞4時，
S=8；
綜上所述：s=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（0＜x≤2）}\\{-{x}^{2}+8x-8（2＜x≤4）}\\{8（x＞4）}\end{array}\right.$                
（3）如圖4，
利用圓周角定理，得
以CE的長為直徑，CE的中點為圓心的圓（x-2）²+（y-2）²=128，
聯(lián)立直線與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+4}\\{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}=128}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{7}}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{7}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即Q₁（4，4）；Q₂（2+$\sqrt{7}$，3）；Q₃（2-$\sqrt{7}$，3）；
∠Q₄CE=90°，
聯(lián)立CQ₄、拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+4}\\{y=x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=5}\end{array}\right.$
即Q₄（1，5）；
∠Q₅EC=∠Q₆EC=90°，Q₅E的解析式為y=x-4，
聯(lián)立Q₅E、拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+4}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{97}}{2}}\\{y=\frac{-7+\sqrt{97}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{97}}{2}}\\{y=\frac{-7-\sqrt{97}}{2}}\end{array}\right.$，
即 Q₅（$\frac{1+\sqrt{97}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$）；Q₆（$\frac{1-\sqrt{97}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{97}}{2}$）；
綜上所述：Q₁（4，4）；Q₂（2+$\sqrt{7}$，3）；Q₃（2-$\sqrt{7}$，3）；Q₄（1，5）；Q₅（$\frac{1+\sqrt{97}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$）；Q₆（$\frac{1-\sqrt{97}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{97}}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）圖形割補法是求面積的關(guān)鍵，分類討論以防遺漏符合條件的情況；（3）利用圓周角求直角是解題關(guān)鍵．