Question

15．深化理解：
如圖1，已知直線l：y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)M是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM的最短長(zhǎng)度．
實(shí)踐應(yīng)用：
（1）如圖2，已知直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB．則△PAB面積的最小值與最大值之和是16．
（2）已知一次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+b與y=$\frac{4}{3}$x+1的圖象之間的距離等于3，則b的值是-4或6．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出OA、OB利用勾股定理即可解決問題．
（2）根據(jù)垂線段最短，先求出點(diǎn)M坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可．
（3）過C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長(zhǎng)線交⊙C于N，則由三角形面積公式得，$\frac{1}{2}$×AB×CM=$\frac{1}{2}$×OA×BC，可知圓C上點(diǎn)到直線y=$\frac{3}{4}$x-3的最大距離是1+$\frac{16}{5}$=$\frac{21}{5}$，圓C上點(diǎn)到直線y=$\frac{3}{4}$x-3的最小距離是 $\frac{16}{5}$-1=$\frac{11}{5}$，由此即可解決問題．
（4）不妨設(shè)直線y=$\frac{4}{3}$x+1與坐標(biāo)軸交于A（0，1），B（-$\frac{3}{4}$，0），直線y=$\frac{4}{3}$x+b與y軸交于點(diǎn)P，作PM⊥AB于M．由△ABO∽△APM，得$\frac{PM}{BO}$=$\frac{AP}{AB}$，因?yàn)锳B=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，所以$\frac{3}{\frac{3}{4}}$=$\frac{PA}{\frac{5}{4}}$，推出PA=5，推出點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-4），b=-4，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)b=6時(shí)，也滿足條件．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

（2）∵直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，
∴過點(diǎn)P（0，4）垂直AB的直線的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{84}{25}}\\{y=-\frac{12}{25}}\end{array}\right.$，
根據(jù)垂線段最短可知點(diǎn)M坐標(biāo)為（$\frac{84}{25}$，-$\frac{12}{25}$）時(shí)，PM最短，此時(shí)PM=$\sqrt{（\frac{84}{25}）^{2}+（4+\frac{12}{25}）^{2}}$=$\frac{28}{5}$．

（3）過C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長(zhǎng)線交⊙C于N，

則由三角形面積公式得，$\frac{1}{2}$×AB×CM=$\frac{1}{2}$×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=$\frac{16}{5}$，
∴圓C上點(diǎn)到直線y=$\frac{3}{4}$x-3的最大距離是1+$\frac{16}{5}$=$\frac{21}{5}$，
∴△PAB面積的最大值是 $\frac{1}{2}$×5×$\frac{21}{5}$=$\frac{21}{2}$，
圓C上點(diǎn)到直線y=$\frac{3}{4}$x-3的最小距離是 $\frac{16}{5}$-1=$\frac{11}{5}$，
∴△PAB面積的最小值是 $\frac{1}{2}$×5×$\frac{11}{5}$=$\frac{11}{2}$，
∴△PAB面積的最小值與最大值之和=$\frac{21}{2}$+$\frac{11}{2}$=16．
故答案為16．

（4）如圖3中，

∵不妨設(shè)直線y=$\frac{4}{3}$x+1與坐標(biāo)軸交于A（0，1），B（-$\frac{3}{4}$，0），直線y=$\frac{4}{3}$x+b與y軸交于點(diǎn)P，作PM⊥AB于M．
∵△ABO∽△APM，
∴$\frac{PM}{BO}$=$\frac{AP}{AB}$，∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{3}{\frac{3}{4}}$=$\frac{PA}{\frac{5}{4}}$，
∴PA=5，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-4），
∴b=-4，
根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)b=6時(shí)，也滿足條件．
故答案為-4或6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離以及最小結(jié)論，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．