Question

13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E為直角邊AB上任意一點(diǎn)，以線段CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，下列說法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD面積的最大值為$\frac{3}{8}$，其中正確的是②④⑤．

Answer 1

分析 由三角形ABC與三角形ECD都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC，CD=DE，且四個銳角為45°，利用等式的性質(zhì)得到∠BCE=∠ACD，故選項(xiàng)②正確；根據(jù)B與E重合時，A與D重合，此時DE與AC垂直；當(dāng)B，E不重合時，A，D也不重合，根據(jù)∠BAC與∠EDC都為直角，判斷∠AFE與∠DFC是否銳角，即可對于選項(xiàng)①做出判斷；由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形BEC與三角形ADC相似，利用相似三角形對應(yīng)角相等及等式的性質(zhì)得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到AD與BC平行，可得出選項(xiàng)④正確；由④的結(jié)論判斷選項(xiàng)③即可；根據(jù)△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；由高一定，面積最大即為AD最長，故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，求出此時面積，即為最大面積，即可對于選項(xiàng)⑤做出判斷．

解答 解：∵△ABC，△ECD都為等腰直角三角形，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，∠B=∠ACB=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即∠BCE=∠ACD，故選項(xiàng)②正確；
當(dāng)B，E重合時，A，D重合，此時DE⊥AC；
當(dāng)B，E不重合時，A，D也不重合，由∠BAC與∠EDC都為直角，得到∠AFE與∠DFC必為銳角，故①錯誤；
④∵$\frac{CD}{EC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{BC}$，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正確；
③∵由④知∠DAC=45°，
∴∠EAD=135°，∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
∴△EAD與△BEC不相似，故③錯誤；
⑤∵△ABC的面積為定值，
∴若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
∵△ACD中，AD邊上的高為定值，
∴若△ACD的面積最大，則AD的長最大；
由④的△BEC∽△ADC知：當(dāng)AD最長時，BE也最長；
故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$；
故S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，故⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．