Question

10．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，E在BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如圖1，連接DE，CD．
①找出圖中全等三角形，并證明；
②求∠ACD的度數(shù)；
（2）如圖2，過(guò)E作EF⊥AB于F，若BF=4，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和SAS可證△BDE≌△ACD，②再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到∠ACD的度數(shù)；
（2）連CD，由（1）知CD=DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可得∠CDE=45°，過(guò)D作DM⊥CE于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及等量關(guān)系即可得到CE的長(zhǎng)．

解答 （1）①△ADC≌△BED，
證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
在△ADC和△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠A=∠B}\\{AC=BD}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△BED（SAS）；

②解：∵△ADC≌△BED，
∴∠ACD=∠BDE，
∵∠B=45°，BC=BD，
∴∠BCD=67.5°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=22.5°；


（2）解：連CD，由（1）知CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC=67.5°，
∴∠CDE=45°，
過(guò)D作DM⊥CE于M，
∴CM=ME，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，
∵EM⊥DM，EF⊥DB，
∴EF=EM，
易證EF=BF，
∴CE=2BF=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)添加合適的輔助線是難點(diǎn)．