Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1），且對(duì)稱軸為直線x=2，點(diǎn)P、Q均在拋物線上，點(diǎn)P位于對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)Q位于對(duì)稱軸左側(cè)，PA垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)A，QB垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)B，且QB=PA+1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（3）請(qǐng)?zhí)骄縋A+QB=AB是否成立，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸列出關(guān)于b、c的方程組，然后求解得到b、c的值，即可得解；
（2）根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出PA，然后表示出QB，從而求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，從而得解；
（3）根據(jù)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后分別求出PQ、BQ、AB，即可得解．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1），且對(duì)稱軸為在線x=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=-1}\\{-\frac{2}=2}\end{array}\right.$，
解得：bb=-4，c=2．
∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x²-4x+2；
（2）∵拋物線上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，m²-4m+2），
∴PA=m-2，
QB=PA+1=m-2+1=m-1，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2-（m-1）=3-m，
點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（3-m）²-4（3-m）+2=m²-2m-1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3-m，m²-2m-1）；
（3）PA+QB=AB成立．
理由如下：∵P（m，m²-4m+2），Q（3-m，m²-2m-1），
∴A（2，m²-4m+2），B（2，m²-2m-1），
∴AB=（m²-2m-1）-（m²-4m+2）=2m-3，
又∵PA=m-2，QB=m-1，
∴PA+QB=m-2+m-1=2m-3，
∴PA+QB=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用含m的式子表示A、B、Q、P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．