Question

9．在平面直角坐標系中，如圖，矩形ABCO的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA=4，OC=3．點Q從點C出發(fā)沿CB方向以每秒2個單位的速度向點B運動，以CQ為一邊向下作正方形CQDE，同時點P從原點O出發(fā)在x軸上以每秒1個單位的速度向右運動，點Q的運動時間為x（s），△PBD的面積為y，當點Q到點B時，P、Q兩點同時停止運動．回答下列問題：
（1）點B的坐標為（4，3）；
（2）當x=1時，求直線PB的解析式，并判斷此時點D是否在直線PB上，說明理由；
（3）求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）根據OA、OC的長度結合矩形的性質即可得出點B的坐標；
（2）當x=1時找出點P、Q的坐標，根據點P、B的坐標利用待定系數法即可求出直線PB的解析式，根據點Q的坐標結合正方形的性質即可得出點D的坐標，再根據一次函數圖象上點的坐標特征驗證此時點D是否在直線PB上；
（3）過點D作DF⊥x軸交直線PB于點F，設點P的坐標為（a，0），則點D的坐標為（2a，3-2a），根據點P、B的坐標利用待定系數法求出直線PB的解析式，再結合點D的坐標找出過點D、F的直線的解析式，由此即可得出點F的坐標，根據三角形的面積公式找出y關于a的關系式，將a換成x即可得出結論．

解答 解：（1）∵OA=4，OC=3，四邊形ABCO為矩形，
∴AB=3，CB=4，
∴點B的坐標為（4，3）．
故答案為（4，3）．
（2）當x=1時，點P的坐標為（1，0），
設直線PB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{3=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線PB的解析式為y=x-1．
∵點Q從點C出發(fā)沿CB方向以每秒2個單位的速度向點B運動，且x=1，
∴點Q（2，3），
∵四邊形CQDE為正方形，
∴點D（2，1）．
當x=2時，y=2-1=1，
∴此時點D在直線PB上．
（3）過點D作DF⊥x軸交直線PB于點F，如圖所示．
設點P的坐標為（a，0），則點D的坐標為（2a，3-2a），
∵點B的坐標為（4，3），
利用待定系數法即可求出直線PB的解析式為y=$\frac{3}{4-a}$x+$\frac{3a}{a-4}$（0≤a≤2），
∵DF⊥x軸，
∴經過點D、F點的直線的解析式為x=2a，
∴點F的坐標為（2a，$\frac{3a}{4-a}$），
∴DF=|3-2a-$\frac{3a}{4-a}$|=$\frac{|2{a}^{2}-14a+12|}{4-a}$，
∴y=$\frac{1}{2}$DF•（x_B-x_P）=$\frac{1}{2}$×$\frac{|2{a}^{2}-14a+12|}{4-a}$×（4-a）=|a²-7a+6|．
將a換成x，
即可得出y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-7x+6（0≤x≤1）}\\{-{x}^{2}+7x-6（1＜x≤2）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了矩形的性質、利用待定系數法求函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，解題的關鍵是：（1）根據矩形的性質找出點B的坐標；（2）利用待定系數法求出直線PB的解析式；（3）根據三角形的面積公式找出y關于x的函數關系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．