Question

14．如圖，已知直線y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點D，與直線y=$\frac{3}{4}$x交于點E．過點D作DC∥x軸，交直線y=$\frac{3}{4}$x于點C，過點C作CB∥AD交x軸于點B．
（1）點C的坐標是（4，3）；
（2）以線段AD的中點M為圓心作⊙M，當⊙M與直線CE相切時，求⊙M的半徑；
（3）如圖2，點P從點O出發(fā)，沿線段OC向終點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向終點D運動．若P、Q兩點同時出發(fā)，速度均為1單位長度/s，時間為t s．當p、q兩點有一點到達終點時，它們均停止運動．將線段PQ繞點P沿順時針方向旋轉90°．當點Q落在四邊形ABCD一邊所在的直線上時，t的值為2．

Answer 1

分析 （1）首先求出點D的坐標是多少，進而確定出線段CD所在的直線的解析式；然后聯立CD所在的直線的解析式：y=$\frac{3}{4}$x，求出點C的坐標是多少即可；
（2）首先求出線段AD的中點M的坐標；然后根據點到直線的距離的求法，求出點M到直線y=$\frac{3}{4}$x的距離，即可判斷出⊙M的半徑是多少；
（3）先得出直線BC的解析式，設點M的坐標為（x，1.5x-3），同時得出點P和點Q的坐標，根據兩點間的距離公式得出PQ=PM，繼而得出答案．

解答 解：（1）∵y=3x+3與y軸的交點D的坐標是（0，3），
∴線段CD所在的直線的解析式是：y=3，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即點C的坐標是（4，3）；

（2）由0=3x+3，
解得x=-1，
∴點A的坐標是（-1，0），
∴線段AD的中點M的坐標是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由y=$\frac{3}{4}$x，可得
3x-4y=0，
當⊙M與直線CE相切時，⊙M的半徑是：
$\frac{|3×（-\frac{1}{2}）-4×\frac{3}{2}|}{\sqrt{{3}^{2}{+（-4）}^{2}}}$
=$\frac{7.5}{5}$
=1.5

（3）如圖2，點Q落在四邊形ABCD的BC邊所在的直線上，，
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
把點C（4，3）和點B（2，0）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1.5}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以解析式為：y=1.5x-3，
設點M的坐標為（x，1.5x-3），
因為直線OC過原點和點C（4，3），可得直線OC的解析式為：y₁=$\frac{4}{3}$x；
當點Q落在四邊形ABCD一邊所在的直線上時，點P的坐標為（$\frac{3}{5}t，\frac{4}{5}t$），點Q的坐標為（3-t，4），
將線段PQ繞點P沿順時針方向旋轉90°，可得PQ=PM，
可得：$（\frac{3}{5}t-3+t）^{2}+（\frac{4}{5}t-4）^{2}=（\frac{3}{5}t-x）^{2}+（\frac{4}{5}t-1.5x+3）^{2}$，$2[（\frac{3}{5}t-3+t）^{2}+（\frac{4}{5}t-4）^{2}]=（3-t-x）^{2}+（4-1.5x+3）^{2}$，
聯立兩個方程解得：t=2．
故答案為：2．

點評 此題主要考查了一次函數綜合題，考查了分析推理能力，考查了從已知函數圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．同時還考查了點的坐標的求法，以及直線的解析式的求法，還有直線和圓相切的性質的應用，要熟練掌握．