Question

6．如圖①，在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖①所示，其中，DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD，ME，MF，MG．則下列結(jié)論正確的是①②③④（填寫序號）
①四邊形AFMG是菱形；②△DFM和△EGM都是等腰三角形；③MD=ME；④MD⊥ME．
（2）數(shù)學思考：
如圖②，在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程．
（3）類比探究：如圖③Rt△ABC中，斜邊BC=10，AB=6，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABD和ACE，請直接寫出DE的長．

Answer 1

分析 （1）由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及四點共圓即可得出結(jié)論；
（2）取AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)以及各個角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）分四種情況，①等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC外側(cè)，②等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC內(nèi)側(cè)，③等腰直角三角形ABD和ACE一個Rt△ABC外側(cè)，④等腰直角三角形ABD和ACE一個Rt△ABC外側(cè)，一個在等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC內(nèi)側(cè)分別求出DE的長度即可．

解答 解：（1）∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° 
∵在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACE}\\{∠ADB=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，
∴AF=BF=DF=$\frac{1}{2}$AB，AG=GC=GE=$\frac{1}{2}$AC． 
∵AB=AC，
∴DF=BF，GE=CG，
∴△DFM和△EGM都是等腰三角形，故②正確； 
∵M是BC的中點，
∴BM=CM． 
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM． 
在△DBM和△ECM中，
 $\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠DBM=∠ECM}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．故③正確；
連接AM、FM、GM，如圖1所示：
∵AB=AC，M是BC的中點，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
又∵AF=BF，AG=CG，
∴FM=$\frac{1}{2}$AB=AF，GM=$\frac{1}{2}$AC=AG，
∴AF=FM=GM=AG，
∴四邊形AFMG是菱形，
故①正確； 
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四邊形ADBM四點共圓，
∴∠AMD=∠ABD=45°． 
∵AM是對稱軸，
∴∠AME=∠AMD=45°，
∴∠DME=90°，
∴MD⊥ME，故④正確，
故答案為：①②③④；

（2）解：MD=ME，MD⊥ME；理由如下：
取AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，如圖2所示：
∴AF=$\frac{1}{2}$AB，AG=$\frac{1}{2}$AC． 
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB，EG⊥AC，EG=$\frac{1}{2}$ AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG． 
∵M是BC的中點，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM． 
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE． 
∵在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=GE}\\{∠DFM=∠MGE}\\{DF=MG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME，∠FMD=∠GEM，
∴∠DME=∠FMG-（∠FMD+∠GME）=∠MGC-（∠GEM+∠GME），
∵EG⊥AC，
∴∠EGC=90°，
∵∠MGC-（∠GEM+∠GME）+∠EGC=180°，
∴∠DME=90°，
∴DM⊥EM；
∴MD=ME，MD⊥ME；

（3）Rt△ABC中，斜邊BC=10，AB=6，
∴AC=8，
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3$\sqrt{2}$，AE=EC=4$\sqrt{2}$，
分四種情況，①如圖3，
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠EAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=180°，
∴D，A，E三點共線，
∴DE=AD+AE=7$\sqrt{2}$，
②如圖4，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠EAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴點A，D，E共線，
∴DE=AE-AD=$\sqrt{2}$，
③如圖5，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠EAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，
∴DE=5$\sqrt{2}$，
④如圖6，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠EAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，
∴DE=5$\sqrt{2}$，
綜上所述：DE的長為：7$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．