Question

19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連接AF；
（1）判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由．
（2）若⊙O的半徑為4，AF=3，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，先證出∠3=∠2，由SAS證明△OAF≌△OCF，得對應(yīng)角相等∠OAF=∠OCF，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCF=90°，證出∠OAF=90°，即可得出結(jié)論；
（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面積求出AE，根據(jù)垂徑定理得出AC=2AE．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠3=∠2}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切線；
（2）∵⊙O的半徑為4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF=$\sqrt{A{F}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC=2AE，△OAF的面積=$\frac{1}{2}$AF•OA=$\frac{1}{2}$OF•AE，
∴3×4=5×AE，
解得：AE=$\frac{12}{5}$，
∴AC=2AE=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理以及三角形面積的計算；熟練掌握切線的判定，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．