Question

16．如圖，在平行四邊形ABCD中．AB∥CD，AD∥BC，P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過P作EF∥BC，MN∥CD，設(shè)四邊形AMPE、四邊形EPNB、四邊形MDFP、四邊形CFPN的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄．
（1）MN與AB平行嗎？為什么？
（2）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$與$\frac{MP}{NP}$相等嗎？為什么？
（3）你發(fā)觀S₁、S₂、S₃、S₄之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行公理的推論即可得到結(jié)論；
（2）過E作EH⊥CD于H，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AMPE，EPNB是平行四邊形，由平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到四邊形AMPE，EPNB，MPFD，PFCN是平行四邊形，由平行四邊形的面積得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{S}_{3}}{{S}_{4}}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）MN與AB平行，
理由：∵AB∥CD，MN∥CD，
∴MN∥AB；

（2）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$與$\frac{MP}{NP}$相等，
理由：過E作EH⊥CD于H，
∵CD∥MN，
∴EG⊥MN，
∵AB∥MN，AD∥EF∥BC，
∴四邊形AMPE，EPNB是平行四邊形，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{PM•EG}{PN•EG}$=$\frac{MP}{NP}$；

（3）S₁•S₄=S₂•S₃，
∵AB∥MN∥CD，AD∥EF∥BC，．
∴四邊形AMPE，EPNB，MPFD，PFCN是平行四邊形，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{PM•EG}{PN•EG}$=$\frac{MP}{NP}$，$\frac{{S}_{3}}{{S}_{4}}$=$\frac{PM•GH}{PN•GH}$=$\frac{PM}{PN}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{S}_{3}}{{S}_{4}}$，
∴S₁•S₄=S₂•S₃．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的面積的計(jì)算，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．