Question

9．如圖，△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=8，以AB為邊向外作正方形ABDE，若此正方形中心為點(diǎn)O，則點(diǎn)C和點(diǎn)O之間的距離為6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)O作OM垂直于CA于點(diǎn)N，作ON垂直于CB于點(diǎn)N，易證四邊形MCNO是矩形，利用已知條件再證明△AOM≌△BON，因?yàn)镺M=ON，所以AM=BN，進(jìn)而求出CN的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出OC的長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)O作OM垂直于CA于點(diǎn)N，作ON垂直于CB于點(diǎn)N，連接OA、OB，

∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形MCNO是矩形，
∴∠MON=90°，
∵正方形ABDE對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OMA=∠ONB=90°，
在△AOM和△BON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=∠BON}\\{∠OMA=∠ONB=90°}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，
∴AM=BN，
∵AC=4，BC=8，
∴CN=$\frac{AC+BC}{2}$=6，
∵∠OCN=45°，
∴ON=CN=6，
由勾股定理得OC=6$\sqrt{2}$，
故答案為：6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．