Question

11．如圖，點E，F分別為正方形ABCD的邊BC、CD上一點，且AE平分∠BEF，連AF．
（1）求證：∠EAF=45°；
（2）若點E為BC的中點，AB=6，求S_△AEF．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥EF于H．只要證明△AFD≌△AFH，推出∠FAD=∠FAH，同法可證：∠EAB=∠EAH，由此即可解決問題；
（2）由△EAB≌△EAH，△FAD≌△FAH，推出BE=EH=3，DF=FH，設DF=FH=x，在Rt△EFC中，根據EF²=EC²+CF²，可得（x+3）²=3²+（6-x）²，推出x=2，推出EF=3+2=5，即可解決問題；

解答 （1）證明：作AH⊥EF于H．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD=BC=CD，
∵AE平分∠BEF，AB⊥BE，AH⊥EF，
∴AB=AH=AD，
在Rt△AFD和Rt△AFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AD=AH}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AFH，
∴∠FAD=∠FAH，同法可證：∠EAB=∠EAH，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAH+$\frac{1}{2}$∠DAH=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

（2）解：∵△EAB≌△EAH，△FAD≌△FAH，
∴BE=EH=3，DF=FH，設DF=FH=x，
在Rt△EFC中，∵EF²=EC²+CF²，
∴（x+3）²=3²+（6-x）²，
∴x=2，
∴EF=3+2=5，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$×5×6=15．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．