Question

10．已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以A為直角頂點，分別以AC、AB為一直角邊，在△ABC外做等腰直角△ACD和△ABE，連接BD、CE交與點O．
（1）判斷BD與CE的關系；
（2）求證：AO平分∠MON；
（3）求AM：AN的值．

Answer 1

分析 （1）證明△DAB≌△CAE（SAS），可以得出BD=CE，∠ADB=∠ACE，再利用△AMD和△OMC中，兩個角相等，則根據三角形的內角和定理可知：∠COM=∠MAD=90°，則BD⊥CE；
（2）作高線AG、AH，由全等可知面積相等，底邊相等，則高AG=AH；根據角平分線的逆定理得：AO平分∠MON；
（3）先證明四邊形ADCB是平行四邊形，則AM=MC，DM=BM，設AM=x，則CM=x，AD=2x，DM=$\sqrt{5}$x，
分別表示出AM和AN的長，相比即可．

解答 解：（1）BD=CE，且BD∥CE，理由是：
∵△ACD和△ABE是等腰直角三角形，
∴AC=AD，AB=AE，∠DAC=∠BAE=90°，
∴∠DAC+∠CAB=∠BAE+∠CAB，
即∠DAB=∠CAE，
∴△DAB≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ADB=∠ACE，
∵∠AMD=∠OMC，
∴∠COM=∠MAD=90°，
∴BD⊥CE；

（2）過A作AG⊥BD于G，作AH⊥EC于H，
∵△DAB≌△CAE，
∴S_△DAB=S_△CAE，
∴$\frac{1}{2}$BD•AG=$\frac{1}{2}$CE•AH，
∵BD=CE，
∴AG=AH，
∴AO平分∠MON；

（3）∵AD=AC，
∵∠DAC=∠ACB=90°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ADCB是平行四邊形，
∴AM=MC，DM=BM，
設AM=x，則CM=x，AD=2x，DM=$\sqrt{5}$x，
∵tan∠MDA=tan∠MCO=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，OC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∴OB=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
∵DC∥BN，
∴△DCO∽△BNO，
∴$\frac{DC}{BN}=\frac{DO}{OB}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}x}{BN}=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}x}{\frac{4\sqrt{5}}{5}x}$，
∴BN=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x，
∴AN=AB-BN=2$\sqrt{2}$x-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{x}{\frac{2\sqrt{2}}{3}x}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質、角平分線性質定理的逆定理、三角形相似和全等的性質和判定、同角的三角函數等知識，運用的知識點較多，第二問巧用面積法，證明高線相等，根據角平分線性質定理的逆定理得出結論，第三問關鍵是根據同角的三角函數確定OC=2OM，并設未知數求解．