Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，C，E為⊙O上的兩 點，AC平分∠EAB，CD⊥AE于D．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）過點C作CF⊥AB于F，如圖2，判斷CF和AF，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；
（3）若AD-OA=1.5，AC=3$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖1，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AD，則有AD⊥CD可判斷OC⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連結(jié)CE，如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得CD=CF，再證明Rt△ACD≌△ACF得到AD=AF，接著證明Rt△DEC∽Rt△DCA，理由相似得性質(zhì)得DE：DC=DC：DA，然后利用等線段代換即可得到CF²=DE•AF；
（3）設(shè)⊙O的半徑為r，由AD=AF，AD-OA=1.5可得到OF=1.5，再證明Rt△ACF∽Rt△ABC，利用相似比可計算出r=3，接著在Rt△FCO中，利用余弦的定義可求出∠COB=60°，然后根據(jù)扇形的面積公式和等邊三角形面積公式和S_陰影部分=S_扇形BOC-S_△BOC進行計算即可．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：CF²=AF•DE．理由如下：
連結(jié)CE，如圖2，
∵AC平分∠EAB，CD⊥AE，CF⊥AB，
∴CD=CF，
在Rt△ACD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌△ACF，
∴AD=AF，
∵四邊形CEAB內(nèi)接于⊙O，
∴∠DEC=∠B，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠2=90°，
而∠1+∠ACD=90°，∠1=∠2，
∴∠DEC=∠ACD，
∴Rt△DEC∽Rt△DCA，
∴DE：DC=DC：DA，
∴DC²=DE•DA，
∴CF²=DE•AF；
（3）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AD=AF，而AD-OA=1.5，
∴AF=AD=OA+OF=r+1.5
∴OF=1.5，
∵∠CAB=∠FAC，
∴Rt△ACF∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{3\sqrt{3}}{2r}$=$\frac{r+1.5}{3\sqrt{3}}$，解得r=3或r=-$\frac{9}{2}$（舍去），
在Rt△FCO中，∵cos∠COF=$\frac{OF}{OC}$=$\frac{1.5}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠COB=60°，
∴S_陰影部分=S_扇形BOC-S_△BOC
=$\frac{60•π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²
=$\frac{3}{2}$π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和扇形面積的計算．