Question

13．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)C在直線a上，且BM⊥直線a于M，DN⊥直線a于N 
（1）求證：MN=BM+DN；
（2）若點(diǎn)B，D到a的距離分別是1，2．求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定定理證得△BMC≌△NCD，得到MC=ND，BM=CN，即可得到結(jié)果；
（2）由（1）證得CM=DN=2，根據(jù)勾股定理求得BC即可求得結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠MBC+∠BCM=∠NCD+∠BCM=90°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠BMC=∠CND=90°，BC=CD
在△BMC與△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMC=∠CND}\\{∠MBC=∠NCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$
∴△BMC≌△NCD（AAS），
∴MC=ND，BM=CN，
∴MN=CM+CN=DN+BM；

（2）由（1）證得CM=DN=2，
∴BC=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴正方形ABCD的面積=BC²=${（\sqrt{5}）}^{2}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)的應(yīng)用．在證明三角形的全等時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角．