Question

13．如圖，已知直線y=-x+2分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若AB=2EF，則k的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作FH⊥x軸，EC⊥y軸，F(xiàn)H與EC交于D，先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB為等腰直角三角形，則AB=2$\sqrt{2}$，所以EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，且△DEF為等腰直角三角形，則FD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=1；設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t+2），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，-t+1），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到t（-t+2）=（t+1）•（-t+1），解得t=$\frac{1}{2}$，這樣可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$．

解答 解：作FH⊥x軸，EC⊥y軸，F(xiàn)H與EC交于D，如圖，
由直線y=-x+2可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），OA=OB=2，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴△DEF為等腰直角三角形，
∴FD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=1，
設(shè)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，代入y=-x+2，則縱坐標(biāo)是-t+2，則F的坐標(biāo)是：（t，-t+2），E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，-t+1），
∴t（-t+2）=（t+1）•（-t+1），解得t=$\frac{1}{2}$，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴k=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．