Question

3．如圖①，點C在以O為圓心，以AB為半徑的圓弧上從A點開始以a度/秒的速度逆時針運動到點D，OD⊥AB．在此運動過程中，△BOC的面積S與運動時間t（秒）之間的函數圖象（非拋物線）如圖②所示，根據函數圖象回答下列問題：
（1）填空：a=30，b=3；
（2）當t=5時，求∠ABC的度數及扇形OBC的面積；
（3）當t為何值時，△BOC的面積為4．

Answer 1

分析 （1）當 CO⊥AB時，面積最大，當C點與A，B重合時面積最小，CO兩次垂直于AB，第一次時，∠AOC=90°，第二次時，∠AOC=270°，結合圖象，易得出結論；
（2）由（1）得∠ABC，由圓周角定理可得∠ABC，∠BOC，結合圖象易得R，利用扇形的面積公式得出結論；
（3）若△BOC的面積為4，則以BO為底的高為2，易得∠AOC=30°，150°或210°時，解得t．

解答 解：（1）由題意得：當∠AOC=90°時，第一次面積最大；當∠AOC=180°時，面積最小，
當∠AOC=270°時，面積第二次最大，
∴a=$\frac{270°}{9}$=30°，b=$\frac{9}{3}=3$，
故答案為：30，3；

（2）當t=5時，∠AOC=30t=150°，
∴$∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC=75°$，
∴∠BOC=30°，
設⊙O的半徑為R，則$\frac{1}{2}$R²=8，
∴R=4，
∴S_扇形OBC=$\frac{30π{•4}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π；

（3）作CE⊥AB于E，當$\frac{1}{2}$OB•CE=4時，即$\frac{1}{2}×4CE$=4，
∴CE=2，
在Rt△OCE中，sin∠COE=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠COE=30°，
如圖①∠AOC=30°，t=30÷30=1（秒）；
如圖②∠AOC=150°，t=150÷30=5（秒）；
如圖③∠AOC=210°，t=210÷30=7（秒）；
∴當t為1秒，5秒，7秒時，△BOC的面積為4．

點評 本題主要考查圓周角定理，結合圖象解決動點問題，正確識圖，分清界點結合圖象是解答此題的關鍵．