Question

1．已知O為正方形ABCD的中心，M為射線OD上一動點（M與點O，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．
（1）當(dāng)點M在線段OD上時（如圖1），線段BM與DF有怎樣的數(shù)量及位置關(guān)系？請說明理由；
（2）當(dāng)點M在線段OD的延長線上時（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，證△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可；
（2）與（1）類似，根據(jù)正方形性質(zhì)，推出∠FAD=∠MAB，判定△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可．

解答 解：（1）BM=DF，BM⊥DF．
理由：∵四邊形ABCD、AMEF是正方形，
∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，
∴∠FAM-∠DAM=∠DAB-∠DAM，
即∠FAD=∠MAB，
∵在△FAD和△MAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠FAD=∠MAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△MAB，
∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，
∵∠ADB=45°，
∴∠FDB=45°+45°=90°，
∴BM⊥DF，
即BM=DF，BM⊥DF．

（2）BM=DF，BM⊥DF都成立，
理由是：∵四邊形ABCD和AMEF均為正方形，
∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，
∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，
即∠FAD=∠MAB，
∵在△FAD和△MAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠FAD=∠MAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△MAB，
∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，
由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，
∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，
即BM⊥DF，
∴（1）中的結(jié)論仍成立．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△FAD≌△MAB，本題具有一定的代表性，主要培養(yǎng)學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力和猜想能力．