Question

18．已知，如圖，拋物線y=-x²+2x+3與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸上任意點(diǎn)，當(dāng)△MBC是等腰三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3+$\sqrt{17}$）或（1，3-$\sqrt{17}$）或（1，$\sqrt{14}$）或（1，-$\sqrt{14}$）或（1，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式，求出與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，根據(jù)△MBC是等腰三角形，從MB=BC，MB=MC，BC=MC三個(gè)角度求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．

解答 解：當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3，即A（-1，0），B（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C（0，3），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，
∵拋物線y=-x²+2x+3，
∴對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-$\frac{2}{-2}=1$，
∵△MBC是等腰三角形，
∴MB=BC，MB=MC，BC=MC，
如圖，①當(dāng)MC=BC=3$\sqrt{2}$時(shí)，由勾股定理得：M₁（1，3+$\sqrt{17}$），M₂（1，3-$\sqrt{17}$），
②當(dāng)MB=BC=3$\sqrt{2}$時(shí)，由勾股定理得：M₃（1，$\sqrt{14}$），M₄（1，-$\sqrt{14}$），
③當(dāng)BM=CM時(shí)，作線段BC的垂直平分線交對(duì)稱軸于點(diǎn)M₅，
∵△OBC是等腰直角三角形，
∴由等腰直角三角形的對(duì)稱性，可知，BC的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，并且平分∠BOC，
∴即直線OM₅的解析式為y=x，
∴點(diǎn)M₅（1，1），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，3+$\sqrt{17}$）或（1，3-$\sqrt{17}$）或（1，$\sqrt{14}$）或（1，-$\sqrt{14}$）或（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、等腰三角形的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．