Question

9．如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．將紙片先沿直線BD對折，再將對折后的圖形沿從一個頂點出發(fā)的直線裁剪，剪開后的圖形打開鋪平．若鋪平后的圖形中有一個是面積為2的平行四邊形，則CD=2+$\sqrt{3}$或4+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據題意結合裁剪的方法得出符合題意的圖形有兩個，分別利用菱形的判定與性質以及勾股定理得出CD的長．

解答 解：如圖1所示：作AE∥BC，延長AE交CD于點N，過點B作BT⊥EC于點T，
當四邊形ABCE為平行四邊形，
∵AB=BC，
∴四邊形ABCE是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，
∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，
則∠NAD=60°，
∴∠AND=90°，
∵四邊形ABCE面積為2，
∴設BT=x，則BC=EC=2x，
故2x×x=2，
解得：x=1（負數舍去），
則AE=EC=2，EN=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故AN=2+$\sqrt{3}$，
則AD=DC=4+2$\sqrt{3}$；
如圖2，當四邊形BEDF是平行四邊形，
∵BE=BF，
∴平行四邊形BEDF是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，
∴∠ADB=∠BDC=15°，
∵BE=DE，
∴∠AEB=30°，
∴設AB=y，則BE=2y，AE=$\sqrt{3}$y，
∵四邊形BEDF面積為2，
∴AB×DE=2y²=2，
解得：y=1，故AE=$\sqrt{3}$，DE=2，
則AD=2+$\sqrt{3}$，
綜上所述：CD的值為：2+$\sqrt{3}$或4+2$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$或4+2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了剪紙問題以及勾股定理和平行四邊形的性質等知識，根據題意畫出正確圖形是解題關鍵．