Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D在⊙O上，且BC=CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于E，交AB延長(zhǎng)線于F點(diǎn)．若AB=4ED，則cos∠ABC的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 先證△CDE∽△ABC得到對(duì)應(yīng)邊成比例，由AB=4DE，BC=CD得到BC=$\frac{1}{2}$AB，從而求出cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$．

解答 證明：連接OC、AC，
∵CE⊥AD，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵BC=CD，
∴∠OAC=∠EAC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴∠ECA+∠OCA=90°，
∴EF是⊙O的切線，
∴∠ECD=∠EAC，
又∵BC=CD，
∴∠EAC=∠BAC，
∴∠ECD=∠BAC，
又∵AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
在△BAC和△DCE中，
∠BCA=∠DEC=90°，
∠ECD=∠CAB，
∴△CDE∽△ABC，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{AB}{BC}$，
又∵AB=4DE，CD=BC，
∴$\frac{BC}{\frac{1}{4}AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查了切線的判定，圓內(nèi)接四邊形及解直角三角形，這道題主要利用切線的判定定理來(lái)證明EF是⊙O的切線，并且利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)求線段的長(zhǎng)度．