Question

10．學之道在于悟．希望同學們在問題（1）解決過程中有所悟，再繼續(xù)探索研究問題（2）．
（1）如圖①，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC．
①求證：△ADE為等腰三角形．
②若∠B=60°，求證：△ADE為等邊三角形．
（2）如圖②，射線AM與BN，MA⊥AB，NB⊥AB，點P是AB上一點，在射線AM與BN上分別作點C、點D滿足：△CPD為等腰直角三角形．（要求：利用直尺與圓規(guī)，不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

分析 （1）①先根據(jù)∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，進而得到△ADE為等腰三角形；
②根據(jù)△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根據(jù)∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，得到∠ADE=∠B=60°，最后判定等腰△ADE為等邊三角形；
（2）分三種情況討論：∠CPD為直角頂點；∠PCD是直角頂點；∠PDC是直角頂點，分別進行畫圖即可．第一種情況：使得AP=BD，BP=AC；第二種情況：使得AC=AB，CE=AP，BD=AE；第三種情況：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF．

解答 （1）①證明：在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴DA=DE，即△ADE為等腰三角形；

②解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠B=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∴∠CAE+∠ADB=120°，
∴∠ADE=60°，又△ADE為等腰三角形，
∴△ADE為等邊三角形；
（2）有三種情況，PC=PD、CP=CD、DC=DP，
如圖所示：

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．解題時注意分類討論思想的運用．