Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1），動(dòng)點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正半軸運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，作直線(xiàn)AB．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，是否存在t，使△ABC是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t，則OA=t，OB=2t，利用勾股定理把AB²，BC²和AC²用t表示出來(lái)，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判斷t是否滿(mǎn)足條件，以及是否是等腰三角形即可．

解答 解：運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t，則OA=t，OB=2t．
在直角△OAB中，AB²=OA²+OB²=t²+（2t）²=5t²，
過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則D的坐標(biāo)是（3，0）．
在直角△ACD中，AC²=CD²+AD²=1+（3-t）²=t²-6t+10，
BC²=3²+（2t-1）²=4t²-4t+10，
當(dāng)AB是斜邊時(shí)，AB²=AC²+BC²，則5t²=t²-6t+10+4t²-4t+10，
解得：t=2．
此時(shí)AB²=20，AC²=2，BC²=18，此時(shí)不是等腰三角形，故不符合條件；
當(dāng)AC是斜邊時(shí)，AC²=AB²+BC²，則t²-6t+10=5t2+（4t²-4t+10），
解得：t=0或-4（不符合題意，舍去）；
當(dāng)BC是斜邊時(shí)，AB²+AC²=BC²，則5t²+（t²-6t+10）=4t²-4t+10，
解得：t=0（舍去），或1．
當(dāng)t=1時(shí)，AB²=5，AC²=1-6+10=5，此時(shí)AB=AC．
總之，當(dāng)t=1時(shí)，△ABC是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行討論，利用m表示出AB²，BC²和AC²是關(guān)鍵．