Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，A（a，4），B（b，1），C（c，0），且（b-a+2）²+$\sqrt{b-3a}$+|c-1|=0．
（1）求a，b，c；
（2）若將線段AB，以1個單位/s的速度沿x軸方向向右平移，t秒后平移后的三角形ABO與平移前的三角形ABC的面積相等，求運動時間t；
（3）過原點O的一條直線e上任意一點的坐標P（m，n）都滿足n=3m，例如直線e上的點（1，3），（1.5，4.5），（-1，-3），（-2，-6），…，等都滿足n=3m，在坐標軸上是否存在一點N，同時在直線e上是否存在一點M，使得四邊形ABMN或四邊形ABNM構成平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據非負數的性質即可解決問題；
（2）切線直線AB的解析式，求出直線AB與x軸的交點M，設t秒后平移后的三角形ABO與平移前的三角形ABC的面積相等，則平移后直線AB的解析式為y=$\frac{3}{2}$（x-t）+$\frac{11}{2}$，與x軸的交點M為（t-$\frac{11}{3}$，0），A（t-1，4），B（t-3，1），$\frac{1}{2}$構建方程即可解決問題；
（3）由題意點M在直線y=3x上，當點M的橫坐標為±2或縱坐標為±3時，滿足條件，再分別求解即可解決問題；

解答 解：（1）∵（b-a+2）²+$\sqrt{b-3a}$+|c-1|=0，
又∵（b-a+2）²≥0，$\sqrt{b-3a}$≥0，|c-1|≥0，
則有$\left\{\begin{array}{l}{b-a+2=0}\\{b-3a=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\\{c=1}\end{array}\right.$．

（2）如圖1中，

∵A（-1，4），B（-3，1），
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{11}{2}$，
∴直線與x軸的交點M（-$\frac{11}{3}$，0），
∴S_△ABC=S_△ACM-S_△BCM=$\frac{1}{2}$×$\frac{14}{3}$×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{14}{3}$•1=7，
設t秒后平移后的三角形ABO與平移前的三角形ABC的面積相等，
則平移后直線AB的解析式為y=$\frac{3}{2}$（x-t）+$\frac{11}{2}$，與x軸的交點M為（t-$\frac{11}{3}$，0），A（t-1，4），B（t-3，1），
∴$\frac{1}{2}$•（t-$\frac{11}{3}$）•（4-1）=7，
∴t=$\frac{25}{3}$s．

（3）如圖2中，

由題意點M在直線y=3x上，當點M的橫坐標為±2或縱坐標為±3時，分別得到M₁（2，6），M₂（1，3），M₃（-1．-3），M₄（-2，-6），
作M₁N₁∥AB交y軸于N₁，易知N₁（0，3），由△ABK≌△M₁N₁H₁，可知AB=M₁N₁，點N₁滿足條件，
同法可得N₂（-1，0），N₃（1，0），N₄（0，-3）也滿足條件．

點評 本題考查四邊形綜合題、一次函數的應用、三角形的面積、平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．