Question

7．已知拋物線$y=k（x+1）（x-\frac{2}{k}）$與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C．若△ABC為等腰三角形，則k的值為$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，2．

Answer 1

分析 根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的判定分類討論：當(dāng)AB=BC時，當(dāng)AB=AC時，當(dāng)AC=BC時，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答 解：$y=k（x+1）（x-\frac{2}{k}）$化為一般式，得
y=kx²+（-2+k）x-2，
當(dāng)y=0時，kx²+（-2+k）x-2=0，
解得x=-1，x=$\frac{2}{k}$，即A（-1，0），B（$\frac{2}{k}$，0），
當(dāng)x=0時，y=-2，即C（0，-2）．
當(dāng)AB=BC時，$\sqrt{（\frac{2}{k}）^{2}+（-2）^{2}}$=$\frac{2}{k}$+1，化簡，得$\frac{4}{k}$=3，解得k=$\frac{4}{3}$
當(dāng)AB=AC時，±$\sqrt{（-1）^{2}+（-2）^{2}}$=$\frac{2}{k}$+1，化簡，解得k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或k=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
當(dāng)AC=BC時，$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{k}）^{2}+{2}^{2}}$，化簡，得$\frac{2}{k}$=-1，或$\frac{2}{k}$=-1，解得k=-2（不符合題意要舍去），或k=2，
故答案為：$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，2．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用了函數(shù)值與自變量的對應(yīng)關(guān)系，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．