Question

16．已知：S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$，S₄=1+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$，S₅=1+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$，…則$\sqrt{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）

Answer 1

分析 由S₁、S₂、S₃、S₄、S₅、…可得出S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=[1+$\frac{1}{n（n+1）}$]²，開(kāi)方后即可得出結(jié)論．

解答 解：∵S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$，S₄=1+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$，S₅=1+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$，…，
∴S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=1+$\frac{2}{n（n+1）}$+$\frac{1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=[1+$\frac{1}{n（n+1）}$]²，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$．
故答案為：1+$\frac{1}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)以及規(guī)律型中數(shù)的變化，根據(jù)給定等式，找出變化規(guī)律“S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=[1+$\frac{1}{n（n+1）}$]²”是解題的關(guān)鍵．