Question

18．如圖，線段EF經(jīng)過(guò)菱形ABCD的頂點(diǎn)C，分別交AB、AD的延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，已知∠ADC=3∠BCE．
（1）如圖1，若∠A=90°，求證：FC=2CD；
（2）如圖2，求證：AB²=BE•DF；
（3）若DF=3，AD=$\sqrt{3}$，則EF的長(zhǎng)為2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）先由∠A=90°，判定菱形ABCD為正方形，再根據(jù)∠ADC=3∠BCE=3∠F，求出∠F=30°，然后在Rt△CDF中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得出FC=2CD；
（2）設(shè)∠BCE=∠F=α，則∠ADC=3α，∠DCF=2α．先由平行線的性質(zhì)得出∠EBC=∠A=∠CDF，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得出△BEC∽△DCF，則$\frac{BE}{DC}=\frac{BC}{DF}$，由BC=DC，得到BC²=BE×DF．延長(zhǎng)AE到點(diǎn)P，使EP=EC，連接PC，利用AAS證明△PBC≌△FDC，得出BP=DF，進(jìn)而得出BC²=BE²+BE•CE；
（3）先由BC²=BE×DF，求出BE=1，再由BP=DF=BE+EP=3，得到PE=2=EC，然后根據(jù)△BEC∽△DCF，得到$\frac{EC}{CF}=\frac{BE}{DC}$，求得CF=2$\sqrt{3}$，則EF=EC+CF=2+2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）如圖1．∵四邊形ABCD是菱形，∠A=90°，
∴菱形ABCD為正方形，BC∥AD，
∴∠ADC=90°，∠BCE=∠F，
又∵∠ADC=3∠BCE=3∠F，
∴∠F=30°．
在Rt△CDF中，∵∠CDF=90°，∠F=30°，
∴FC=2CD；
（2）如圖2．設(shè)∠BCE=∠F=α，則∠ADC=3α，∠DCF=∠ADC-∠F=3α-α=2α．
∵AE∥DC，BC∥AF，
∴∠EBC=∠A=∠CDF．
在△BEC與△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠F}\\{∠EBC=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△BEC∽△DCF，
∴∠BEC=∠DCF=2α，$\frac{BE}{DC}=\frac{BC}{DF}$，
∴BC×DC=BE×DF，
∵BC=DC，
∴BC²=BE×DF．
延長(zhǎng)AE到點(diǎn)P，使EP=EC，連接PC，則∠P=∠ECP，
∵∠BEC=∠P+∠ECP=2α，
∴∠P=∠ECP=α．
在△PBC與△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠F}\\{∠PBC=∠FDC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△FDC，
∴BP=DF．
∵BP=PE+BE，PE=EC，
∴DF=BE+CE，
∴BC²=BE×DF=BE×（BE+CE）=BE²+BE•CE，
即BC²=BE²+BE•CE；
（3）∵BC²=BE×DF，BC=AD=$\sqrt{3}$，DF=3，
∴（$\sqrt{3}$）²=BE×3，
∴BE=1．
∵BP=DF=BE+EP=3，
∴PE=BP-BE=3-1=2=EC．
∵△BEC∽△DCF，
∴$\frac{EC}{CF}=\frac{BE}{DC}$，$\frac{2}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$，
∴EF=EC+CF=2+2$\sqrt{3}$．
故答案為：2+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．