Question

4．如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=4，∠D=60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中，PB+PQ的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取BC的中點(diǎn)G，連接AG．首先證明∠BAC=90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接CF，作BE⊥CF于E，則BE的長即為PB+PQ的最小值，

解答 解：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．

∵AB=BG=2，∠ABG=∠D=60°，
∴△ABG是等邊三角形，
∴AG=GC=2，∠AGB=∠BAG=60°，
∴∠GAC=∠GCA=30°，
∴∠BAC=90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，連接CF，作BE⊥CF于E，則BE的長即為PB+PQ的最小值（垂線段最短），
易知△BCF是等邊三角形，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
∴BP+PQ的最小值為2$\sqrt{3}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查軸對稱-最短問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱，根據(jù)垂線段最短解決最值問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．