Question

1．如圖，⊙O的半徑R=4，點A、B、C在⊙O上，∠BAC=60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，連DE，求DE的長．

Answer 1

分析 連接BC、OB、OC，作OF⊥BC于F，由垂徑定理得出BC=2BF，AE=CE，AD=BD，得出DE是△ABC的中位線，DE=$\frac{1}{2}$BC，由圓周角定理得出∠BOC=2∠BAC=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBC=30°，求出OF=$\frac{1}{2}$OB=2，由勾股定理求出BF，即可得出答案．

解答 解：連接BC、OB、OC，作OF⊥BC于F，如圖所示：
則BC=2BF，
∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∴AE=CE，AD=BD，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠BOC=2∠BAC=120°，OB=OC，
∴∠OBC=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴BF=$\sqrt{O{B}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=BF=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理；熟練掌握圓周角定理，證明的是△ABC的中位線是解決問題的關(guān)鍵．