Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C₁：y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)（3，0），且AB=4．
（1）求拋物線(xiàn)C₁的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將拋物線(xiàn)C₁平移，得到的新拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)為（0，-1），拋物線(xiàn)C₁的對(duì)稱(chēng)軸與兩條拋物線(xiàn)C₁，C₂圍成的封閉圖形為M．直線(xiàn)l：y=kx+m（k≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．若直線(xiàn)l與圖形M有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)（3，0），AB=4可得A，B坐標(biāo)，將A，B坐標(biāo)代入y=x²+bx+c可得解析式，化為頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)； 
（2）利用平移后的C₂的頂點(diǎn)為（0，-1），可得拋物線(xiàn)C₂的解析式，易得拋物線(xiàn)C₁的對(duì)稱(chēng)軸x=3與拋物線(xiàn)C₂的交點(diǎn)E，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B（5，0）和點(diǎn)D（3，-4）時(shí)，代入y=kx+m（k≠0）可得k_BD，將點(diǎn)B（5，0）和點(diǎn)E（3，8）代入y=kx+m（k≠0）可得k_BE，易得k的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)C₁的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)（3，0），
∴拋物線(xiàn)C₁的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3．
又∵AB=4，
∴A（1，0），B（5，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}1+b+c=0\\ 25+5b+c=0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}b=-6\\ c=5\end{array}\right.$
∴拋物線(xiàn)C₁的表達(dá)式為y=x²-6x+5．
即y=（x-3）²-4．
∴拋物線(xiàn)C₁的頂點(diǎn)為D（3，-4）．

（2）∵平移后得到的新拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)為（0，-1），
∴拋物線(xiàn)C₂的表達(dá)式為y=x²-1．
∴拋物線(xiàn)C₁的對(duì)稱(chēng)軸x=3與拋物線(xiàn)C₂的交點(diǎn)為E（3，8）
①當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B（5，0）和點(diǎn)D（3，-4）時(shí)，
得$\left\{\begin{array}{l}5k+m=0\\ 3k+m=-4\end{array}\right.$
解得k_BD=2．
②當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B（5，0）和點(diǎn)E（3，8）時(shí)，
得$\left\{\begin{array}{l}5k+m=0\\ 3k+m=8\end{array}\right.$
解得k_BE=-4，
∴結(jié)合函數(shù)圖象可知，k的取值范圍是-4≤k≤2且k≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性和二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用代入法求交點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．