Question

8．如圖，點P在正方形ABCD內(nèi)，△PBC是正三角形，AC與PB相交于點B，有以下結(jié)論：
①∠ACP=15°；
②△APE是等腰三角形；
③AE²=PE•AB；
④△APC的面積為S₁，正方形ABCD的面積為S₂，則S₁：S₂=1：4．
其中正確的個數(shù)為 （　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠PCB=60°，PC=BC，∠PBC=60°，根據(jù)正方形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠DBC=45°，即可判斷①；
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出∠DPC=∠PDC=75°，即可判斷②；
根據(jù)三角形相似的判定即可判斷③；
根據(jù)三角形的面積求出△PBC，△DPC，△DBC的面積，即可判斷④．

解答 解：∵△BCP是等邊三角形，
∴∠PCB=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACP=∠BCP-∠ACB=60°-45°=15°，∴①正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BCP是等邊三角形，
∴∠BAC=45°，BP=BC，∠PBC=60°，
∴AB=BP，
∴∠BAP=∠BPA=$\frac{1}{2}×$（180°-∠ABP）=$\frac{1}{2}$[180°-（90°-60°）]=75°，
∴∠PAE=∠BAP-∠BAC=75°-45°=30°，
∴∠AEP=180°-∠APB-∠PAE=180°-75°-30°=75°，
∴∠APE=∠AEP，
∴△APE是等腰三角形，∴②正確；
∵∠PAE=∠ABP=30°，∠APB=∠APE，
∴△APE∽△BPA，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{BP}{AP}$，
∵AP=AE，AB=BP，
∴AE²=PE•AB，∴③正確；
連接PD，過D作DG⊥PC于G，過P作PF⊥AD于F，

設(shè)正方形的邊長為2a，則S₂=4a²，等邊三角形PBC的邊長為2a，高為$\sqrt{3}$a，
∴PF=2a-$\sqrt{3}$a=（2-$\sqrt{3}$）a，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•PF=（2-$\sqrt{3}$）a²，
∴∠PCD=90°-60°=30°，
∴GD=$\frac{1}{2}$CD=a，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC•DG=a²，S_△ACD=2a²，
∴S₁=S_△ACD-S_△ADP-S_△PCD=2a²-a²-（2-$\sqrt{3}$）a²=（$\sqrt{3}$-1）a²＜a²，
∴S₁：S₂≠1：4．
∴④錯誤；
故選C．

點評 本題考查了正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形面積，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道中等題．