Question

20．某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y₁與投資量x成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤y₂與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）．
（1）分別求出利潤y₁與y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，設(shè)他投入種植花卉金額m萬元，種植花卉和數(shù)目共獲利利潤W萬元，直接寫出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？
（3）若該專業(yè)戶想獲利不低于22萬，在（2）的條件下，直接寫出投資種植花卉的金額m的范圍．

Answer 1

分析 （1）可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)總利潤=樹木利潤+花卉利潤，列出函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最值；
（3）令w=22求出m的值即可得．

解答 解：（1）設(shè)y₁=kx，由圖①所示，函數(shù)y₁=kx的圖象過（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利潤y₁關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y₁=2x（x≥0）；
∵該拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，
∴設(shè)y₂=ax²，
由圖②所示，函數(shù)y₂=ax²的圖象過（2，2），
∴2=a•2²，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
故利潤y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是：y=$\frac{1}{2}$x²（x≥0）；

（2）因?yàn)榉N植花卉m萬元（0≤m≤8），則投入種植樹木（8-m）萬元
w=2（8-m）+0.5 m²=$\frac{1}{2}$m²-2m+16=$\frac{1}{2}$（m-2）²+14
∵a=0.5＞0，0≤m≤8
∴當(dāng)m=2時(shí)，w的最小值是14
∵a=0.5＞0
∴當(dāng)m＞2時(shí)，w隨m的增大而增大
∵0≤m≤8
∴當(dāng) m=8時(shí)，w的最大值是32．

（3）根據(jù)題意，當(dāng)w=22時(shí)，$\frac{1}{2}$（m-2）²+14=22，
解得：m=-2（舍）或m=6，
故：6≤m≤8．

點(diǎn)評 考查二次函數(shù)的應(yīng)用；求函數(shù)解析式通常用待定系數(shù)法；掌握函數(shù)的圖象的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．